223	234
0-3	0-3
4-7	4-7
8-12	8-12
13-14	13-15
15-18	16-17
19-26	18-25
27-…	—

@0 Préparer une présentation orale résumant 2 à 3 notions abordées lors de la dernière séance de cours :

choisir UNE notion différente par élève au sein de chaque équipe,
se préparer à réaliser, en 5 minutes maximum, sur 1/3 du tableau blanc, un croquis accompagné de mots clés et du titre de la notion abordée pour soutenir la présentation orale,
se préparer à présenter, SANS notes, sa notion en 1,5 minutes maximum.

TYPES DE BASE

There are 10 types of people in the world …

0 - Découverte des bases numériques

Pour mieux comprendre ce qui se passe dans un ordinateur, nous allons étudier les bases numériques décimale, binaire, octale, hexadécimale… . Mais avant cela, telle la Cigale avant la fin de l’été, chantons s’il vous plait !!!

Les nombres décimaux (en base 10) utilisent les 10 chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9. Voici la comptine des nombres en base 10 : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …

Les nombres (en base 9) utilisent les 9 chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 et 8. Voici la comptine des nombres en base 9 : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

Voici des “comptines numériques” incomplètes :

En base 8 : 0, 1, 2, 3, 4, 5, …
En base 5 : 0, 1, 2, 3, …
En base 4 : 0, 1, 2, …
En base 2 : 0, 1, …

@1 Compléter les comptines ci-dessus.

Correction

À l’intérieur d’un microprocesseur, dans un ordinateur, il n’y a que des 1 et des 0… si l’on peut dire, puisqu’en fait il n’y a que du courant électrique, qui passe ou ne passe pas dans les circuits :

quand le courant passe, on dit que c’est “1”,
quand le courant ne passe pas, on dit que c’est “0”.

On aurait pu dire blanc et noir tout aussi bien, ou Oui et NON, ou encore VRAI ou FAUX.

Nous allons donc apprendre à parler en binaire !!!

A savoir :

La base 10 (décimale) permet de coder les nombres à l’aide des 10 caractères différents : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9.
La base 8 (octale) utilise les 8 chiffres allant de 0 à 7.
La base 4 (quaternaire) permet de coder les nombres à l’aide des 4 caractères différents : 0, 1, 2 et 3.
La base 2 (binaire) utilise les 2 chiffres : 0 et 1.

1 - Le système décimal (base 10)

Les nombres que nous utilisons habituellement sont ceux de la base 10 (système décimal).
Nous disposons de dix chiffres différents de 0 à 9 pour écrire tous les nombres.
Par exemple, le nombre décimal 2438 est la somme de 8 unités, 4 centaines, 3 dizaines et 2 milliers.
Nous pouvons écrire :

2348 = ( 2 x 1000) + ( 3 x 100) + ( 4 x 10) + (8 x 1)

Avec des puissances de 10 cela donne :

2348 = ( 2 x 10³) + ( 3 x 10²) + ( 4 x 10¹) + (8 x 10⁰)

L’utilisation de paranthèses est mathématiquement inutile ici mais aide à la lecture … dans un premier temps !

Aussi, le nombre 201 n’a pas la même valeur (ne représente pas la même quantité) que le nombre 120, ou le nombre 102 ou encore 210, 012 ou 021. Ces nombres sont pourtant composés des mêmes chiffres. L’ordre dans lequel sont écrits les chiffres est fondamental, puisque dans le système décimal (ou base 10), on décompose les nombres à l’aide de puissances de 10 différentes suivant la place de chaque chiffre.

Ainsi, 201 = 2 x 10² + 0 x 10¹ + 1 x 10⁰
Ici « 2 » est le chiffre qui a le poids le plus fort

Mais, 120 = 1 x 10² + 2 x 10¹ + 0 x 10⁰
Dans ce cas, le chiffre de poids le plus fort est 1 et celui de poids le plus faible est 0.

@2 De la même manière, décomposer les nombres : 315 et 135 :

Correction :

2 - Le système binaire (base 2)

Les objets et systèmes technologiques ont souvent deux états possibles :

Un interrupteur est ouvert ou fermé
Une diode électroluminescente (LED) est allumée ou éteinte
Une tension est présente ou absente
Une surface est réfléchissante ou pas (DVD)
Un champ magnétique est orienté Nord-Sud ou Sud-Nord (disque dur)

Dans le système binaire on « construit » les nombres à l’aide de 2 chiffres seulement : 0 et 1 et .

De manière générale, une base N est composée de N chiffres de 0 à N-1 exemples : de 0 à 9 en base 10, de 0 à 4 en base 5 ou de 0 à 1 en base 2.

Le nombre binaire 1100₂ ne représente pas la même quantité que le nombre binaire 1001₂ ou que
La décomposition d’un nombre en base 2 se fait donc de la même manière qu’en base 10 mais, à l’aide de puissances de 2.

Ainsi : 1100₂ = 1 x 2³ + 1 x 2² + 0 x 2¹ + 0 x 2⁰
Alors que : 1001₂ = 1 x 2³ + 0 x 2² + 0 x 2¹ + 1 x 2⁰

On a donc : 1100₂ = 1 x 8 + 1 x 4 + 0 x 2 + 0 x 1 = 12₁₀
Et aussi : 1001₂ = 1 x 8 + 0 x 4 + 0 x 2 + 1 x 1 = 9₁₀

Désormais, pour éviter toute confusion lors de l’utilisation de systèmes numériques différents, la base de chaque nombre pourra être spécifiée en indice.

Par exemple, 11₁₀ = 1011₂ alors que 11₂ = 3₁₀ . Méfiance !!!

@3 De la même manière, décomposer les nombres : 100₂ , 101₂ et 11₂

Correction :

Définitions :

Le bit (contraction de Binary Digit) est l’unité la plus simple en informatique.
Un bit ne peut prendre que deux valeurs différentes 0 ou 1.
Un nombre binaire est composé de plusieurs bit (plusieurs 0 ou 1 concrètement).
Le bit le plus à gauche est le bit de poids fort.
Celui le plus à droite (unités) le bit de poids faible. Il a un poids équivalent à 2^0 = 1 (et non pas 0 !)

2.1 Conversion binaire vers décimal

Pour convertir un nombre binaire en nombre décimal nous allons utiliser les puissances de 2 comme nous l’avons introduit plus haut.

Exemple :
1100₂ = 1 x 2³ + 1 x 2² + 0 x 2¹ + 0 x 2⁰ = 8 + 4 + 0 + 0 = 12₁₀

Cette écriture “en ligne” est très sensible aux erreurs.

Exemple :
1100₂ = 1 x 2² + 1 x 2¹ + 0 + 0 = 4 + 2 + 0 + 0 = 6₁₀ .

A croire que les zéros ne valent rien, on prend vite l’habitude de simplifier les calculs pour aller au plus vite. Or, ce sont bien les zéros qui font la grandeur des nombres. Quand on pense qu’entre le salaire d’un footballeur et celui d’un ingénieur, il peut y avoir 3 “petits” zéros d’écart…

Pour éviter cette “grave” erreur de conversion, nous utiliserons souvent un tableau de conversion:

	2⁵	2⁴	2³	2²	2¹	2⁰
11001₂ =>	0	1	1	0	0	1
25₁₀ <=	0	16	8	0	0	1

Attention à numéroter les puissances de 2 en partant de la droite !

@4 De la même manière, convertir en base « 10 » les nombres : 101₂, 1001₂, 0101₂ et 01111₂.

Correction :

2.2 Conversion décimal vers binaire

Maintenant que nous sommes experts en nombres binaires, la conversion de décimal à binaire nous apparaît donc comme une simple décomposition en puissance de 2.

Imaginons que nous connaissions toutes les puissances de 2 : 1, 2, 4, 8 …. Et convertissons 19₁₀ en binaire.

On reconnaît donc assez rapidement :

19 = 16 +3
19 = 16 + 2 + 1
19 = 2⁴ + 2¹ + 2⁰
19 = 1 x 2⁴ + 0 x 2³ + 0 x 2² + 1 x 2¹ + 1 x 2⁰
19 = 10011₂

Ici aussi la probabilité est très forte d’oublier un zéro en chemin et de donner un résultat très largement faux.

Utilisons le tableau de conversion dans l’autre sens :

	2⁵	2⁴	2³	2²	2¹	2⁰
19₁₀ =>	0	16	0	0	2	1
10011₂ <=	0	1	0	0	1	1

Attention : numéroter les puissances de 2 en partant de la droite !

Cette méthode dite « par soustractions » reste cependant très risquée et surtout très compliquée à programmer. Et en NSI, en aime bien concevoir des programmes puissants en quelques lignes seulement !!!

Voici la méthode dite des “divisions” euclidiennes, très simple à programmer et nettement plus rapide dès qu’il s’agit de traiter des grands nombres.

Démarche :

On prend le nombre en base 10 (forme normale).
On le divise par 2 et on note le reste de la division (soit 1 soit 0)
On refait la même chose avec le quotient précédent, et on met de nouveau le reste de côté.
On réitère la division, jusqu’à ce que le quotient soit égal à 0.
Le nombre en binaire apparaît alors : il suffit de prendre tous les restes de bas en haut.

Exemple :

185 = 2 x 92 + 1

92 = 2 x 46 + 0

46 = 2 x 23 + 0

23 = 2 x 11 + 1

11 = 2 x 5 + 1

5 = 2 x 2 + 1

2 = 2 x 1 + 0

1 = 2 x 0 + 1

0 = 2 x 0 + 0

0 = 2 x 0 + 0

Attention : il faut bien lire de bas en haut !

185₁₀ vaut donc 10111001₂ (vérifions en réalisant la conversion inverse)

@5 De la même manière, convertir en base « 2 » les nombres : 19₁₀ et 25₁₀ . Que se passe-t-il si on prolonge les calculs jusqu’à 8 divisions ?

Correction :

On constate qu’effectuer plus de divisions ne fait que rajouter des zéro à l’avant du nombre binaire, ce qui, biensur, ne change rien à sa valeur !!!

2.3 Nombre de bits nécessaires à un entier

Avec 1 seul bit (une porte) nous pouvons coder 2 états différents :

ouverte = 0
fermée = 1

Avec 2 bits (une fenêtre + ses volets) nous pouvons coder 4 états :

Ce qui donne :

OuverteOuvert = 00₂
OuverteFermé = 01₂
FerméeOuvert = 10₂
FerméeFermé = 11₂

Avec 3 bits (couleurs primaires RVB) nous pouvons coder 8 états différents :

Voici, ci-dessous, un “arbre-binaire” permettant de représenter les combinaisons de couleurs possible.

Noir = _ _ _₂
Bleu = _ _ _₂
Vert = _ _ _₂
Cyan = _ _ _₂
Rouge = _ _ _₂
Magenta = 101₂
Jaune = 110₂
Blanc = 111₂

@6 Compléter l’arbre “binaire” ci-dessous pour retrouver et ordonner les différentes couleurs “pures” et leur codage binaire associé.

Correction :

Noir = 000₂
Bleu = 001₂
Vert = 010₂
Cyan = 011₂
Rouge = 100₂
Magenta = 101₂
Jaune = 110₂
Blanc = 111₂

On constate que, pour chaque bit supplémentaire, le nombre de combinaisons possibles est multiplié par 2 :

2 bits permettent de coder 4 états différents
3 bits permettent de coder 8 combinaisons différentes.
4 bits permettent de coder 16 nombres différents.

On en déduit donc que :

1 bit permet de coder 2 nombres différents.
0 bit permet de coder 1 seul état (Surprenant mais correct car 2⁰= 1 ;-)

Définitions

Un groupe de bits est appelé un mot.
Un mot de huit bits est nommé un octet (byte en anglais).
Un octet permet d’écrire 2⁸ = 256 nombres binaires différents (de 0 à 255).
Un mot binaire composé de n bits permet d’écrire 2ⁿ nombres binaires différents (de 0 à 2ⁿ-1).

@7 Déterminer combien de nombres entiers différents peuvent être codés à l’aide de 5 bits puis de 7 bits. Dans chaque situation donner le plus petit nombre et le plus grand nombre entier codable.

Réponses :

@8 Déterminer combien de bits sont necessaires, au minimum, pour coder en binaire les entiers 62₁₀ et 128₁₀ .

Réponses :

@9 Déterminer combien de nombres entiers différents peuvent être codés à l’aide de 12 bits puis de 16 bits. Dans chaque situation donner le plus petit nombre et le plus grand nombre entier codable.

Réponses :

Avec 12 bits on peut coder 2¹² = 4096 nombres entiers différents, de 0 à 4095.
Avec 16 bits on peut coder 2¹⁶ = 65536 nombres entiers différents, de 0 à 65535.

@10 Déterminer combien de bits sont necessaires, au minimum, pour coder en binaire les entiers 1000₁₀ et 1024₁₀ .

Réponses :

2.4 Additionner deux nombres entiers binaires entre eux.

Comme pour une addition de deux nombres décimaux, additioner deux nombres binaires fonctionne avec des retenues. Seulement, ce ne sont pas des retenues de valeur 10, mais de valeur 2.

C’est à dire :

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10 --> on pose 0 et on retient 1
1+1+1 = 11 --> on pose 1 et on retient 1

Exemple: additionons 110₂ (6₁₀) et 1110₂ (14₁₀)

	1	1	1
	0	0	1	1	0
+	0	1	1	1	0

	1	0	1	0	0

@11 De la même manière, effectuer les additions binaires uivantes :

10110 + 101101
110111 + 010001

Résultats :

On obtient le résultat 10 100₂ (ce qui correspond bien à 20₁₀)

Par extension, multiplier par 2 un nombre a correspond à l’additioner avec lui-même (a+a = 2a)
Nous savons comment additioner deux nombres binaires, nous savons donc comment multiplier par 2 deux nombres binaires.

Exemple : multiplions 110₂ (6₁₀) par 2

		1	1
	0	0	1	1	0
+	0	0	1	1	0

	0	1	1	0	0

On obtient le résultat 1 100₂ (ce qui correspond bien à 12₁₀)

On constate que pultiplier par 2 revient à décaler le nombre binaire vers la gauche pour ajouter un zéro à droite (comme multiplier par 10 en décimal revient à décaler le nombre décimal vers la gauche pour ajouter un zéro à droit)

@12 Effectuer :

la multiplication de 10111₂ par 2₁₀ (10₂)
la multiplication de 1111₂ par 2₁₀ (10₂)
la multiplication de 001₂ par 2₁₀ (10₂)

Résultats :

@13 Effectuer :

la multiplication de 100₂ par 16₁₀ (1 0000₂)
la multiplication de 101₂ par 16₁₀ (1 0000₂)
la multiplication de 1010₂ par 16₁₀ (1 0000₂)

Résultats :

2.5 Lien entre les bases 2, 4, 8, 16 …

2.5.1 Quelques rappels des conversion base 10 / base 2

D’une part :
25 = 2 x 12 + 1
12 = 2 x 6 + 0
6 = 2 x 3 + 0
3 = 2 x 1 + 1
1 = 2 x 0 + 1
0 = 2 x 0 + 0
0 = 2 x 0 + 0
0 = 2 x 0 + 0

donc 25₁₀ = 00011001₂ (= 11001₂ bien évidement !!!)

D’autre part :
00010011₂ = 0x2⁷ + 0x2⁶ + 0x2⁵ + 1x2⁴ + 0x2³ + 0x2² + 1x2¹ + 1x2⁰ = 16 + 2 + 1 = 19₁₀

2.5.2 Application aux conversions base 10 / base 4

D’une part :
25 = 4 x 6 + 1
6 = 4 x 1 + 2
1 = 4 x 0 + 1
0 = 4 x 0 + 0

donc 25₁₀ = 0121₄ (= 121₄ bien évidement !!!)

D’autre part :
0103₄ = 00 01 00 11₂ = 0x4³ + 1x4² + 0x4¹ + 3x4⁰ = 0 + 16 + 0 + 3 = 19₁₀

2.5.3 Application aux conversions base 10 / base 8

D’une part :
25 = 8 x 3 + 1
3 = 8 x 0 + 3
0 = 8 x 0 + 0

donc 25₁₀ = 031₈ (= 31₈ bien évidement !!!)

D’autre part :
00 010 011₂ = 0x8² + 2x8¹ + 3x8⁰ = 0 + 16 + 3 = 19₁₀

2.5.4 Application aux conversions base 10 / base 16

D’une part :
25 = 16 x 1 + 9
1 = 16 x 0 + 1

donc 25₁₀ = 19₁₆

D’autre part :
0001 0011₂ = 1x16¹ + 3x16⁰ = 16 + 3 = 19₁₀

2.5.5 Comparaison entre base 2, 4 et 16

	19₁₀	25₁₀
Base 2	00 01 00 11₂	00 01 10 01₂
Base 4	0 1 0 3₄	0 1 2 1₄
Base 16	1 3₁₆	1 9₁₆

3 - Le système héxadécimal (base 16)

Dans le système binaire on « construit » les nombres à l’aide de 16 chiffres : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; A ; B ; C ; D ; E ; F.

De manière générale, une base N est composée de N chiffres de 0 à N-1.

La décomposition d’un nombre en base 16 se fait donc de la même manière qu’en base 10 mais, à l’aide de puissances de 16.

Ainsi : 6C5₁₆ = 6 x 16² + 12 x 16¹ + 5 x 16⁰ = 1 733₁₀

3.1 Conversion héxadécimal vers décimal

Pour convertir un nombre héxadécimal en nombre décimal nous allons utiliser les puissances de 16 comme nous l’avons introduit plus haut :

Exemple :
10A₁₆ = (1 x 16²) + (0 x 16¹) + (10 x 16⁰) = (1 x 256) + (0 x 16) + (10 x 1) = 266₁₀

Pour éviter toute erreur de conversion, nous pouvons utiliser un tableau de conversion

	16²	16¹	16⁰
10A₁₆ =>	1	0	10
266₁₀ <=	256	0	10

Attention : numéroter les puissances de 16 en partant de la droite !

3.2 Conversion décimal vers héxadécimal

La conversion de décimal à héxadécimal nous apparaît donc comme une simple décomposition en puissances de 16.
Imaginons que nous convertissons 19₁₀ en héxadécimal.
Utilisons le tableau de conversion dans l’autre sens :

	16²	16¹	16⁰
19₁₀ =>	0	16	3
013₁₆ <=	0	1	3

Attention : numéroter les puissances de 16 en partant de la droite !

Voici la méthode dite des “divisions” euclidiennes, très simple à programmer et nettement plus rapide dès qu’il s’agit de traiter des grands nombres.

Démarche :

On prend le nombre en base 10.
On le divise par 16 et on note le reste de la division (0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10(A) ; 11(B) ; 12( C) ; 13(D) ; 14(E) ; 15(F)
On refait la même chose avec le quotient précédent, et on met de nouveau le reste de côté.
On réitère la division, jusqu’à ce que le quotient soit égal à 0.
Le nombre en héxadécimal apparaît alors : il suffit de prendre tous les restes de bas en haut.

Exemple :
19₁₀ = 16 x 1 + 3
1 = 16 x 0 + 1
0 = 16 x 0 + 0

Attention, il faut bien lire de bas en haut !

19₁₀ vaut donc 013₁₆

Exemple :
213₁₀ = 16 x 13 + 5
13 = 16 x 0 + 13
0 = 16 x 0 + 0
0 = 16 x 0 + 0

213₁₀ vaut donc D5₁₆

@14 Convertir les nombres décimaux suivants en héxadécimal puis en binaire : 15, 129, 31, 65, 47, 63 et 4080.

Réponses :

Astuce : Avec la pratique et la connaissance des 16 premières correspondances binaire-héxadécimal-décimal, certaines conversions se réalisent de manière automatique en décomposant les octets en quartet (mots de 4 bits).

Binaire	Héxadécimal	Décimal	Binaire	Héxadécimal	Décimal
0000	0	0	1000	8	8
0001	1	1	1001	9	9
0010	2	2	1010	A	10
0011	3	3	1011	B	11
0100	4	4	1100	C	12
0101	5	5	1101	D	13
0110	6	6	1110	E	14
0111	7	7	1111	F	15

Afin de convertir un nombre binaire en héxadécimal, il suffit de se rapporter à ce tableau.

Exemple : 1011 1001 0011₂ = B93₁₆, car
1011₂ = B₁₆
1001₂ = 9₁₆
0011₂ = 3₁₆

@15 Convertir les nombres binaires suivants en héxadécimal puis en décimal : 1001 0110, 0111 1111, 0111 1110, 0101 0101 et 1001 0111 1010 1010.

Réponses :

4 - Représentation du texte en machine

Un ordinateur est uniquement capable de traiter nombres eux-mêmes traduits en nombres binaires…

Mais alors comment sont codés les textes dans un ordinateur ? Ou plus précisément, comment sont codés les caractères dans un ordinateur ?

Avant 1960 de nombreux systèmes de codage de caractères existaient, ils étaient souvent incompatibles entre eux c’est alors qu’en 1960, l’organisation internationale de normalisation (ISO) décide de créer la norme ASCII (American Standard Code for Information Interchange).
À chaque caractère est associé un nombre binaire sur 8 bits (1 octet).

En réalité, seuls 7 bits sont utilisés = 128 caractères, suffisant pour un texte anglais mais pas pour toutes les langues menant à la création de la norme ISO-8859-1. Mêmes principes que l’ASCII, mais codé sur 8 bits (256 caractères).
Nouveau problème : toutes les langues n’utilisent pas l’alphabet “latin”.
Création de la norme Unicode afin de pouvoir encoder tous les caractères que l’on peut rencontrer dans le monde. Il accepte plusieurs systèmes de codage, le plus utilisé est UTF-8. Il utilise jusqu’à 4 octets

@16 Le caractère « B » a pour code binaire 01000010. A l’aide de la table ASCII, convertir en hexadécimal puis en binaire la phrase suivante : « Bien vu ! »

Réponse :

@17 A l’aide de la table ASCII, convertir, en héxadécimal puis en texte, la séquence de nombres binaires suivante :01000010 01110010 01100001 01110110 01101111 00100000 00100001 00100001 00100001.

Réponse :

5 - Nombres relatifs en binaire

@18 En imaginant un système de codage des nombres binaires négatifs à l’aide d’un “bit de signe” (premier bit du mot binaire), donner la représentation “binaire signée sur 8 bits”, des nombres - 3, -10, - 127.

@19 Appliquer ce système à des mots de 3 bits (le premier étant le bit de signe) et représenter tous les entiers relatifs binaires possibles et leur équivalent décimal.

@20 Poser et réaliser les opérations suivantes : 1 + (-3), 3 - 2 et -1 -2.

@21 Lire pages 165/166 du manuel le chapitre 2.1 Les entiers signés, puis, appliquer ce système à des mots de 3 bits (le premier étant le bit de signe) et représenter tous les entiers relatifs binaires possibles et leur équivalent décimal.

Pages du manuel :

@22 Appliquer le système présenté dans le livre à des mots de 3 bits (le premier étant le bit de signe) et représenter tous les entiers relatifs binaires possibles et leur équivalent décimal.

@23 Poser et réaliser les opérations suivantes : 1 + (-3), 3 - 2 et -1 -2.

@24 Lire page 166 du manuel le chapitre 2.2 Additions et soustractions des nombres entiers signés…

Page du manuel :

@25 A l’aide de deux exemples, vérifier qu’avec le système de complément à 2 on obtient bien x - x = 0, pour tout x entier positif ou négatif.

@26 Déterminer pour des mots de 3, 4, 5, 6, 7 et 8 bits les plus petits nombres et plus grands nombres binaires relatifs représentables.